基础数学示例

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{t^{2} + 3 t + 2}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $t^{2} + 3 t + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ 。

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ 。

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(t^{2} - t - 6) (t + 1) (t + 2)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ 乘以 $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ 。

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ 乘以 $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ 。

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))$ 的因式。

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6

以因式分解的形式重写 $\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$ 。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(t + 1) (t + 2)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{(t - 10) (t (t + 2) + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{(t - 10) (t^{2} + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.2.2

将 $2 t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2)$ 。

$\frac{t \cdot t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{1} t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{1 + 2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{t^{3} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t^{3} + 3 t \cdot t + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.4.3.1

移动 $t$ 。

$\frac{t^{3} + 3 (t \cdot t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.3.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.4

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.5

将 $3$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.4.6

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.5

从 $3 t^{2}$ 中减去 $10 t^{2}$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} + 2 t - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.6

从 $2 t$ 中减去 $30 t$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 1 \cdot 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.8

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.9

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- t - 5) (t^{2} - t - 6)$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t \cdot t^{2} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10

化简每一项。

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解题步骤 6.10.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 6.10.1.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.1.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.10.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t^{1}) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{2 + 1} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t \cdot t - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 6.10.3.1

移动 $t$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 (t \cdot t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.3.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.5

将 $t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.6

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.7

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.10.8

将 $- 5$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.11

从 $t^{2}$ 中减去 $5 t^{2}$ 。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 6 t + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.12

将 $6 t$ 和 $5 t$ 相加。

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.13

从 $t^{3}$ 中减去 $t^{3}$ 。

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 + 0 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.14

将 $- 7 t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.15

从 $- 7 t^{2}$ 中减去 $4 t^{2}$ 。

$\frac{- 11 t^{2} - 28 t - 20 + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.16

将 $- 28 t$ 和 $11 t$ 相加。

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t - 20 + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.17

将 $- 20$ 和 $30$ 相加。

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18

以因式分解的形式重写 $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ 。

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解题步骤 6.18.1

从 $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.18.1.1

从 $- 11 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (11 t^{2}) - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.1.2

从 $- 17 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.1.3

将 $10$ 重写为 $- 1 (- 10)$ 。

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.1.4

从 $- (11 t^{2}) - (17 t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.1.5

从 $- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.2

因数。

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解题步骤 6.18.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 6.18.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 11 \cdot - 10 = - 110$ 并且它们的和为 $b = 17$ 。

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解题步骤 6.18.2.1.1.1

从 $17 t$ 中分解出因数 $17$ 。

$\frac{- (11 t^{2} + 17 (t) - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.2.1.1.2

把 $17$ 重写为 $- 5$ 加 $22$

$\frac{- (11 t^{2} + (- 5 + 22) t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{- (11 t^{2} - 5 t + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.18.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{- ((11 t^{2} - 5 t) + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{- (t (11 t - 5) + 2 (11 t - 5))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $11 t - 5$ 来因式分解多项式。

$\frac{- ((11 t - 5) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.18.2.2

去掉多余的括号。

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

解题步骤 6.19

因数。

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解题步骤 6.19.1

使用 AC 法来对 $t^{2} - t - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.19.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 6.19.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) ((t - 3) (t + 2))}$

解题步骤 6.19.2

去掉多余的括号。

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t - 3) (t + 2)}$

解题步骤 6.20

合并指数。

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解题步骤 6.20.1

对 $t + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} (t + 2)) (t - 3)}$

解题步骤 6.20.2

对 $t + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{1}) (t - 3)}$

解题步骤 6.20.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{1 + 1} (t - 3)}$

解题步骤 6.20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

解题步骤 6.21

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$ 。

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解题步骤 6.21.1

从 $- (11 t - 5) (t + 2)$ 中分解出因数 $t + 2$ 。

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

解题步骤 6.21.2

从 $(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)$ 中分解出因数 $t + 2$ 。

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

解题步骤 6.21.3

约去公因数。

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

解题步骤 6.21.4

重写表达式。

$\frac{- (11 t - 5)}{((t + 1) (t + 2)) (t - 3)}$

基础数学 示例

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